金衡数据 · 学习练习
从变化快慢，到找到最合适的位置
大学数学练习：由总成本求某一产量的边际成本。包含主问题、四层提示、答案、图解与一道举一反三练习，可按自己的节奏完整阅读。
大学数学
先尝试回答主问题，再逐层阅读提示并核对答案。完成后，用举一反三检验方法能否用于另一组条件。学段仅供选题参考。
主问题：读条件，找方法
问题
校园打印店用理想模型 C(q)=2q²+6q+20 估计当天成本，C的单位是元，q的单位是百份。把产量看作连续量，求 q=2 时的边际成本，也就是 C 在这一点的导数。填写数值，单位为元/百份。
四层提示
- 第0层 零基础救生圈
本题把边际成本定义为总成本对产量的导数，也就是指定产量附近成本变化的快慢。对q求导时，q²变成2q，q变成1，常数变成0。
- 第1层 生活场景建模
把总成本曲线想成逐渐升高的路：边际成本看指定位置附近的坡度，不是当前位置的高度，也不是整段平均坡度。
- 第2层 防坑雷达
不要把总成本除以产量当作边际成本；本题把产量视为连续量，导数是局部变化率，不一定等于整整增加一百份的精确成本。
- 第3层 解题实操
对 C(q) = 2q² + 6q + 20 求导：C′(q) = 2×2×q + 6。 把 q = 2 代入：C′(2) = 2×2×2 + 6 = 14（元/百份）。
答案与核对
14元/百份
举一反三：换一组条件再试
问题
某产品的总成本为 C(q)=3q²+2q+10 元，q 表示产量，单位为百份，且 q≥0。如果当前边际成本为 20 元/百份，求当前产量。
四层提示
- 第0层 零基础救生圈
边际成本就是总成本对产量 q 的导数；先把成本公式变成变化快慢的公式。
- 第1层 生活场景建模
像根据车速反查某一时刻：先写出每个产量对应的边际成本，再寻找边际成本等于 20 的位置。
- 第2层 防坑雷达
不要把 C(q) 直接等于 20：题中给的是边际成本，不是总成本；常数项求导后为零。
- 第3层 解题实操
①对 C(q) 求导得到 C′(q)=6q+2。②令 6q+2=20，得 6q=18。③q=3，符合 q≥0。
答案与核对
产量为 3 百份，即 300 份。